Laplacian Mask 的系數由來－拾人牙慧

Laplacian Mask 的功能是用來作 Edge Detection，也就是把影像中，物體的邊界找出來，簡單介紹 Laplacian Mask 系數的由來。

常見的 Laplacian Mask:

以下對第一個 Laplacian Mask 進行推導。

以影像來說，對影像微分，指的就是影像的像素值相減，所以對 f(x,y) 沿著 x 軸微分，可以得到其差分：
Δ_xf = f(x+1,y) - f(x,y)

再對這個微分後的結果，進行第二次微分：
Δ_x²f = f(x+2,y) - f(x+1,y) - [f(x+1,y) - f(x,y)]
= f(x+2,y) - 2f(x+1,y) + f(x,y)

令 x = x + 1，作參數取代，可得：
Δ_x²f = f(x+1,y) - 2f(x,y) + f(x-1,y)

同理，沿著 y 軸，經過二次微分後，可得：
Δ_y²f = f(x,y+1) - 2f(x,y) + f(x,y-1)

合併兩個軸的微分效應，可以得到 Laplacian operator 如下：
Δ²f = Δ_x²f + Δ_y²f
= f(x+1,y) - 2f(x,y) + f(x-1,y) + f(x,y+1) - 2f(x,y) + f(x,y-1)
= f(x,y+1) + f(x+1,y) + f(x,y-1) + f(x-1,y) - 4f(x,y)

而 Laplacian operator 就是用來構成 Laplacian Mask。

要作二次微分的原因，以數學上來說，是因為在第一次微分後，在物體邊緣處會有波峰產生，此時需要設定門檻值，如果該波峰超過門檻值，則判斷為邊緣，但是如果再經過一次微分，則微分後的波形會有通過零點(Zero Crossing) 的現象，更有利於判斷物體邊緣。

利用 Laplacian Mask 來判斷 f(x,y) 是否為邊緣的方式為：
如果滿足 Δ²f(x,y) 和 Δ²f(x+1,y) 的值呈現為一個正數一個負數，且之間的差值超過門檻值 T，則可以判斷 (x,y) 為 x 軸方向的物體邊緣。
如果滿足 Δ²f(x,y) 和 Δ²f(x,y+1) 的值呈現為一個正數一個負數，且之間的差值超過門檻值 T，則可以判斷 (x,y) 為 y 軸方向的物體邊緣。

Reference

影像處理與電腦視覺導論 - 鍾國亮

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