Affine Transformation 是一種混合的線性二維幾何轉換，而混合的線性轉換包括：位移、放大縮小、旋轉 以及 Shearing 的操作；在數位影像的處理上，就是將影像中 pixel 點的位置，經過線性轉換後，移到新的位置上。
General Affine Transformation 可以以座標搭配線性操作表示，以 (x1, y1) 為原本的位置，(x2, y2) 為經過轉換後的位置：
為了符合線性轉換(Linear Transformation) 的定義 - [f(a+b) = f(a) + fb]，將 Affine Transformation 以 homogenerous coordinates 來表示，為：
以下一一說明各項不同的操作，對影像的影響，及相對應的矩陣變化為何~
假設原影像為：
經過位移的變化後，影像變為：
假設位移為 (30, 60)，矩陣表示方式為：
經過放大 or 縮小後，影像變為：
假設 x, y 軸各為原本的 0.5 倍，矩陣表示方式為：
影像的反射為放大、縮小的特例：
假設 x 為原本的 -1 倍，y 軸不變，矩陣表示方式為：
經過旋轉的變化後，影像變為：
假設逆時針旋轉 90 度後，矩陣表示方式為：
經過 Shearing(扭轉?) 的變化後，影像變為：
Shearing 的變化較為複雜，將 x, y 軸分開表示，其矩陣表示方式為：
Visual Odometry 的應用
於攝影的過程中，如果相機為可以隨意移動，則可能有以下的移動方向：上下左右、前後、旋轉，這些動作對所拍攝影像的內容會有相對的影響：
相機的上下左右移動會造成影像內容的下上右左位移
相機的前後移動會造成影像內容的放大縮小
相機的 roll 旋轉會造成影像內容的逆方向旋轉
相機的 yaw, pitch 旋轉則會造成影像內容的 shearing
所以藉由推算出前後影像內容的相對關係，可以回推出相機在這兩張影像之間的移動與旋轉。
如上所述，相機的移動方向為 6 DoF (Degree of Freedom)，包括 3D Translation 以及 3D Rotation，如圖：
Affine Transformation Matrix
假設對某物體作位移(T: tx, ty)、放大(S: sx, sy)及旋轉(R: θ)，而該物體之相對原點座標為 (T0: x0, y0)，該物體相對於原點座標的座標為 (x1, y1)，則其 Affine Transformation Matrix 為： (R * S * T * (x, y)) + (x0, y0)。
將 R * S * T 以矩陣表示：
Inverse Affine Transformation Matrix
在得到 Affine Transformation Matrix 之後，要如何反推，得到分別的 R, S, T 矩陣呢？
同樣參考 R * S * T 矩陣的分解式：
從矩陣來看，可以得到 6 個等式，而矩陣的變數只有 5 個：sx, sy, tx, ty 及 θ，所以可以得到完整的解。
Reference
Affine Transformation
2D transformation matrices baking
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