如果兩台相機所拍攝的場景為同一個平面,則這兩台相機之間的關係稱為 Planar Homography。
如果兩台相機拍攝同一場景,但兩台相機之間只有旋轉角度的不同,沒有任何位移,,則這兩台相機之間的關係稱為 Homography。

預備知識:
Dot Product and Normals to Lines and Planes




Planar Homography

如果兩台相機所拍攝的場景為同一個平面,則任意一個平面上的點,在這兩台相機的成像平面上所產生的兩個點,將產生由 Planar Homography Matrix 所形成的對映關係:
planar_homography

圖中,兩台相機對平面上的一三維座標點拍照,以 Q 表示為該座標點相對於 Camera C 的相機座標,Q' 表示為該座標點相對於 Camera C' 的相機座標,則 Q 與 Q' 之間的關係為:
Q' = RQ + t
R, t 分別表示為相機 C 跟 C' 的相對 旋轉(rotation) 及 位移(translation)。

假設對 Camera C 來說 (以 C 為原點),該平面的 normal vector 為 n = [nx, ny, nz],則從 C 到該平面的距離 d 為:
d = nTQ = nxQx + nyQy + nzQz => (1/d) nTQ = 1
接著將上述的關係,代入 Q' 與 Q 之間的方程式,可以得到:


假設相機的內部參數矩陣皆為 K,且 q 與 q' 分別為 Q 及 Q' 在相機 C 及 C' 上的影像座標,其關係式為:


則在這兩台相機在該平面上,所形成的任何成對的影像座標 q 及 q' ,都會滿足以下限制:


H 所指的就是 Homography Matrix,它代表著平面上的任意一個點,在兩台相機所形成的不同影像座標之間的關係。
(注意:這邊有個 scale factor - s)

類似的關係,除了在影像座標之間存在,在相機座標之間也會存在:



所以在算出 Homography Matrix 之後,可以分解 H 得到 R 及 t。

疑問:這邊在求 H 時,有個 scale factor 無法解,對於所求的 H 是否會有不良的影響?
就算求到 H,又該如何分解 H,來求它的 R 及 t ?





Homography

如果兩台相機之間沒有任何的位移(translation),只有旋轉(rotation),則依上述的定義,Q 與 Q' 的關係可以重新定義,如下:
Q' = RQ
不管所拍攝的物體是否為平面,上述的關係述都是成立的。

再按照同樣的推導,可以得到 Infinite Homography H
H = KRK-1

上述的關係式,也可由 Planar Homography 來推導,在相機沒有位移的情況下,則 t → 0,或是 相機離拍攝物體很遠,則 d → ∞,
所以可以得到 (t/d) → 0:
ho_005

疑問:這邊在求 H 時,同樣也會有個 scale factor 無法解,對於所求的 H 是否會有不良的影響?




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Homography



Reference

Visual Odometry on Mobile Devices for Virtual Walkthroughs

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