直線方程式與平面方程式的 Dot Product 及 Normals－拾人牙慧

對於直線方程式與平面方程式來說，什麼是 "Dot Product"？他們的 "Normal" 又是什麼？

Dot Product 表示法

對於直線方程式 ax + by = c，寫成 dot product 的型式為：
(a, b) ‧ (x, y) = c
or
A ‧ X = c
其中 A = (a, b)；X = (x, y)

對於平面方程式 ax + by + cz = d，寫成 dot product 的型式為：
(a, b, c) ‧ (x, y, z) = d
or
A ‧ X = d
其中 A = (a, b, c)；X = (x, y, z)

Normal Vector A

假設 P, Q 為在方程式 A ‧ X = d 上的兩點，則 A ‧ P = d, A ‧ Q = d，所以：
A ‧ (P - Q) = d - d = 0
也就是說向量 A 與向量 PQ 為正交(orthogonal) ，而 P, Q 可以是方程式上的任意兩點，不管該方程式所代表的是平面或直線。

當一個非零向量與該平面的所有方向正交時，則稱此向量為該平面的 "normal vector"，簡稱為 "normal"，也就是說該平面方程式的係數 A 即為該平面的 "normal vector"。
也就是說 OA 如果與某平面方程式正交時，則 OA 與該平面垂直。

在同樣的條件下，直線方程式上，也有相同的定義。

要注意的是，A 並不是與方程式中的任意一點正交，而是與其任意兩點所構成的向量正交，除非該方程式通過原點。

Unit Normal Vector

單位向量 (Unit Vector) 為長度為 1 的向量，任何非零向量，在除以其向量的長度後，都可以得到單位向量，如果該向量為 normal vector ，則其 unit vector 即為 Unit Normal Vector。

假設該方程式為 x + 2y + 2z = 9，則其 normal vector A 為 (1, 2, 2)，該 normal vector 的長度為 square root of (1² + 2² + 2²) = 3，所以 (1/3)A 即為 Unit Normal Vector，而 (-1/3)A 同樣也是 Unit Normal Vector。

Equations of Lines in Space

利用觀察法，可以觀察出 A ‧ X = h 在平面上可以定義一條直線，在空間中可以定義一個平面，也就是在 n 維空間中，只能定義 (n-1) 維的解。

所以一條直線在三維空間中，無法只有一個線性方程式所定義，因為一個線性方程式在三維空間中的定為是一個平面。
不過一條直線，可以由兩個平面相交所定意，所以如果有兩個平面，分別為 A ‧ X = h 及 B ‧ X = k，在兩平面相交的情況下，這兩平面的共同解即為一條直線(，當然，這兩平面也有可能平行，或為相同平面)。

對於上述兩平面相交於一直線而已，它們的 normal vector A 及 B 都與這條直線正交，因為這兩個平面都包含這條直線，事實上，由原點，A 及 B 三點所構成的平面，也會與這條直線正交。

Normal Vectors and Cross Product

給定兩個 vector A, B，則 A 與 B 的向量外積(cross product) 分別對 A 與 B 皆為正交；這個定理在求 normal vector 時，非常有用。

例：假設平面上有三個點，P(1, 1, 1)、Q(1, 2, 0)、R(-1, 2, 1)，其平面方程式？

解：因為該平面的 normal vector 與該平面正交，所以該平面的 normal vector 也分別與向量 PQ 及 QR 正交，所該該 normal vector 即為向量PQ 與向量QR 的外積。
PQ = Q - P = (0, 1, -1)
PR = R - P = (-2, 1, 0)
(Q - P) x (R - P) = (1, 2, 2)，此即為該平面的 normal vector A，也就是 A ‧ X = d。
要計算 d ，只要與 P、Q、R 任意一點與 A 作內積，即可得到 (以 P 為例)：
1*1 + 2*1 + 2*1 = 5
=> A ‧ X = 5
=> 1X + 2Y + 2Z = 5

所以該平面方程式為： 1X + 2Y + 2Z = 5

Dihedral Angles and Normal Vectors

定義兩平面的夾角 (Dihedral Angle)：
兩平面的夾角在測量、計算時，需要經過與兩平面所相交之直線為正交關係的另一平面，所以依測量的方向不同，可以得到兩組為互補角的角度。

Dihedral Angle 可以經由兩個分別通過兩平面 normal direction 的向量來計算求得：
A ‧ B = |A| |B| cos (AOB)
詳情參考：
Cosine Theorem for Dot Products

Reference

Dot Product and Normals to Lines and Planes

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