三角函數 (Trigonometry) @ 拾人牙慧

一、廣義角三角函數：

sin(θ) 與 cos(θ) 的定義：

在坐標平面上，以原點 O 為圓心，有一個半徑等於 r 的圓，給定一個廣義角 θ，規定 θ 的起始邊為 x 軸的正方向，θ 角的頂點為原點，依逆時針旋轉，則根據 θ 的旋轉量，可決定終邊的位置。

假設終邊這條射線與圓交於P(x,y)，則定義：

    sin(θ) = y / r
    cos(θ) = x / r

其它三角函數的定義：

    tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) = y / x
    cot(θ) = cos(θ) / sin(θ) = x / y
    sec(θ) = 1 / cos(θ) = r / x
    csc(θ) = 1 / sin(θ) = r / y

三角函數的關係：

平方關係：

    sin²(θ) + cos²(θ) = 1

商數關係：

    tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) ； 
    cot(θ) = cos(θ) / sin(θ)

餘角關係：

    sin(90°-θ) = cos(θ) ； cos(90°-θ) = sin(θ) ；
    tan(90°-θ) = cot(θ) ； cot(90°-θ) = tan(θ) ；
    sec(90°-θ) = csc(θ) ； csc(90°-θ) = sec(θ)

三角函數的化簡：

化簡到 360° 內：

    sin(n*360°+θ) = sin(θ)
    cos(n*360°+θ) = cos(θ)
    tan(n*360°+θ) = tan(θ)

化簡到 180° 內：

    sin(180°+θ) = -sin(θ)；
    sin(180°-θ) = sin(θ)；
    cos(180°+θ) = -cos(θ)；
    cos(180°-θ) = -cos(θ)；
    tan(180°+θ) = tan(θ)；
    tan(180°-θ) = -tan(θ)

餘角關係

    sin(90°+θ) = cos(θ)；
    cos(90°+θ) = -sin(θ)；
    tan(90°+θ) = -cot(θ)；
    sin(270°-θ) = -cos(θ)；
    cos(270°-θ) = -sin(θ)；
    tan(270°-θ) = cot(θ)

負角關係：

    sin(-θ) = -sin(θ)；
    cos(-θ) = cos(θ)；
    tan(-θ) = -tan(θ)

二、三角函數在平面幾何上的應用：

正弦定理：(Sine Rule)

在 ∆ABC 中，以 a, b, c 分別為 ∠A, ∠B, ∠C 的對邊長，則：

    a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2R
    其中 R 為 ∆ABC 的外接圓半徑。

餘弦定理：(Cosine Rule)

在 ∆ABC 中，以 a, b, c 分別為 ∠A, ∠B, ∠C 的對邊長，則：

    a² = b² + c² - 2bc * cos(A) 
    b² = a² + c² - 2ac * cos(B) 
    c² = a² + b² - 2ab * cos(C)

三、三角函數的公式：

複角公式：(合、分角公式) (Angle-Sum and -Difference Identities)

    sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)
    sin(α – β) = sin(α)cos(β) – cos(α)sin(β)
    cos(α + β) = cos(α)cos(β) – sin(α)sin(β)
    cos(α – β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β) 
    tan(a + b) = [tan(a) + tan(b)] / [1 - tan(a)tan(b)]
    tan(a - b) = [tan(a) - tan(b)] / [1 + tan(a)tan(b)]

倍角公式：(Double-Angle Identities)

    sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
    cos(2x) = cos²(x) – sin²(x) 
               = 1 – 2sin²(x) 
               = 2cos²(x) – 1
    tan(2x) = [2 tan(x)] / [1 - tan²(x)]

半角公式：(Half-Angle Identities)

    sin(x/2) = +/- sqrt[(1 - cos(x))/2]
    cos(x/2) = +/- sqrt[(1 + cos(x))/2]
    tan(x/2) = +/- sqrt[(1 - cos(x))/(1 + cos(x))] 
     = (1 - cos(x)) / sin(x) 
     = sin(x) / (1 + cos(x))

和差化積：(Sum Identities)

    sin(x) + sin(y) = 2 sin[(x+y)/2] cos[(x-y)/2]
    sin(x) - sin(y) = 2 cos[(x+y)/2] sin[(x-y)/2]
    cos(x) + cos(y) = 2 cos[(x+y)/2] cos[(x-y)/2]
    cos(x) - cos(y) = -2 sin[(x+y)/2] sin[(x-y)/2]

積化和差：(Product Identities)

    sin(x) cos(y) = (1/2) [sin(x+y) + sin(x-y)]
    cos(x) sin(y) = (1/2) [sin(x+y) - sin(x-y)]
    cos(x) cos(y) = (1/2) [cos(x-y) + cos(x+y)]
    sin(x) sin(y) = (1/2) [cos(x-y) - cos(x+y)]