一、廣義角三角函數:

sin(θ) 與 cos(θ) 的定義:

在坐標平面上,以原點 O 為圓心,有一個半徑等於 r 的圓,給定一個廣義角 θ,規定 θ 的起始邊為 x 軸的正方向,θ 角的頂點為原點,依逆時針旋轉,則根據 θ 的旋轉量,可決定終邊的位置。

假設終邊這條射線與圓交於P(x,y),則定義:
    sin(θ) = y / r
    cos(θ) = x / r

trigonometry_001



其它三角函數的定義:
    tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) = y / x
    cot(θ) = cos(θ) / sin(θ) = x / y
    sec(θ) = 1 / cos(θ) = r / x
    csc(θ) = 1 / sin(θ) = r / y




三角函數的關係:

平方關係:
    sin2(θ) + cos2(θ) = 1


商數關係:
    tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) ; 
    cot(θ) = cos(θ) / sin(θ)


餘角關係:
    sin(90°-θ) = cos(θ) ; cos(90°-θ) = sin(θ) ;
    tan(90°-θ) = cot(θ) ; cot(90°-θ) = tan(θ) ;
    sec(90°-θ) = csc(θ) ; csc(90°-θ) = sec(θ)




三角函數的化簡:

化簡到 360° 內:
    sin(n*360°+θ) = sin(θ)
    cos(n*360°+θ) = cos(θ)
    tan(n*360°+θ) = tan(θ)


化簡到 180° 內:
    sin(180°+θ) = -sin(θ);
    sin(180°-θ) = sin(θ);
    cos(180°+θ) = -cos(θ);
    cos(180°-θ) = -cos(θ);
    tan(180°+θ) = tan(θ);
    tan(180°-θ) = -tan(θ)


餘角關係
    sin(90°+θ) = cos(θ);
    cos(90°+θ) = -sin(θ);
    tan(90°+θ) = -cot(θ);
    sin(270°-θ) = -cos(θ);
    cos(270°-θ) = -sin(θ);
    tan(270°-θ) = cot(θ)


負角關係:
    sin(-θ) = -sin(θ);
    cos(-θ) = cos(θ);
    tan(-θ) = -tan(θ)




二、三角函數在平面幾何上的應用:



正弦定理:(Sine Rule)

在 ∆ABC 中,以 a, b, c 分別為 ∠A, ∠B, ∠C 的對邊長,則:
    a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2R
    其中 R 為 ∆ABC 的外接圓半徑。




餘弦定理:(Cosine Rule)

在 ∆ABC 中,以 a, b, c 分別為 ∠A, ∠B, ∠C 的對邊長,則:
    a2 = b2 + c2 - 2bc * cos(A) 
    b2 = a2 + c2 - 2ac * cos(B) 
    c2 = a2 + b2 - 2ab * cos(C) 




三、三角函數的公式:

複角公式:(合、分角公式) (Angle-Sum and -Difference Identities)
    sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)
    sin(α – β) = sin(α)cos(β) – cos(α)sin(β)
    cos(α + β) = cos(α)cos(β) – sin(α)sin(β)
    cos(α – β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β) 
    tan(a + b) = [tan(a) + tan(b)] / [1 - tan(a)tan(b)]
    tan(a - b) = [tan(a) - tan(b)] / [1 + tan(a)tan(b)] 




倍角公式:(Double-Angle Identities)
    sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
    cos(2x) = cos2(x) – sin2(x) 
               = 1 – 2sin2(x) 
               = 2cos2(x) – 1
    tan(2x) = [2 tan(x)] / [1 - tan2(x)]




半角公式:(Half-Angle Identities)
    sin(x/2) = +/- sqrt[(1 - cos(x))/2]
    cos(x/2) = +/- sqrt[(1 + cos(x))/2]
    tan(x/2) = +/- sqrt[(1 - cos(x))/(1 + cos(x))] 
     = (1 - cos(x)) / sin(x) 
     = sin(x) / (1 + cos(x))




和差化積:(Sum Identities)
    sin(x) + sin(y) = 2 sin[(x+y)/2] cos[(x-y)/2]
    sin(x) - sin(y) = 2 cos[(x+y)/2] sin[(x-y)/2]
    cos(x) + cos(y) = 2 cos[(x+y)/2] cos[(x-y)/2]
    cos(x) - cos(y) = -2 sin[(x+y)/2] sin[(x-y)/2]




積化和差:(Product Identities)
    sin(x) cos(y) = (1/2) [sin(x+y) + sin(x-y)]
    cos(x) sin(y) = (1/2) [sin(x+y) - sin(x-y)]
    cos(x) cos(y) = (1/2) [cos(x-y) + cos(x+y)]
    sin(x) sin(y) = (1/2) [cos(x-y) - cos(x+y)]




背誦口訣:sine cosine cosine sine, cosine cosine sine sine
把這個口訣唸得愈順愈好,這是公式中 sin 跟 cos 的順序,接著再配合自己的理解來背。


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