對於直線方程式與平面方程式來說,什麼是 "Dot Product"? 他們的 "Normal" 又是什麼?



Dot Product 表示法

對於直線方程式 ax + by = c,寫成 dot product 的型式為:
(a, b) ‧ (x, y) = c
or
A ‧ X = c
其中 A = (a, b);X = (x, y)

對於平面方程式 ax + by + cz = d,寫成 dot product 的型式為:
(a, b, c) ‧ (x, y, z) = d
or
A ‧ X = d
其中 A = (a, b, c);X = (x, y, z)




Normal Vector A


假設 P, Q 為在方程式 A ‧ X = d 上的兩點,則 A ‧ P = d, A ‧ Q = d,所以:
A ‧ (P - Q) = d - d = 0
也就是說向量 A 與 向量 PQ 為正交(orthogonal) ,而 P, Q 可以是方程式上的任意兩點,不管該方程式所代表的是平面或直線。

當一個非零向量與該平面的所有方向正交時,則稱此向量為該平面的 "normal vector",簡稱為 "normal",也就是說該平面方程式的係數 A 即為該平面的 "normal vector"。
也就是說 OA 如果與某平面方程式正交時,則 OA 與該平面垂直。

在同樣的條件下,直線方程式上,也有相同的定義。

要注意的是,A 並不是與方程式中的任意一點正交,而是與其任意兩點所構成的向量正交,除非該方程式通過原點。




Unit Normal Vector

單位向量 (Unit Vector) 為長度為 1 的向量,任何非零向量,在除以其向量的長度後,都可以得到單位向量,如果該向量為 normal vector ,則其 unit vector 即為 Unit Normal Vector。

假設該方程式為 x + 2y + 2z = 9,則其 normal vector A 為 (1, 2, 2),該 normal vector 的長度為 square root of (12 + 22 + 22) = 3,所以 (1/3)A 即為 Unit Normal Vector,而 (-1/3)A 同樣也是 Unit Normal Vector。




Equations of Lines in Space

利用觀察法,可以觀察出 A ‧ X = h 在平面上可以定義一條直線,在空間中可以定義一個平面,也就是在 n 維空間中,只能定義 (n-1) 維的解。

所以一條直線在三維空間中,無法只有一個線性方程式所定義,因為一個線性方程式在三維空間中的定為是一個平面。
不過一條直線,可以由兩個平面相交所定意,所以如果有兩個平面,分別為 A ‧ X = h 及 B ‧ X = k,在兩平面相交的情況下,這兩平面的共同解即為一條直線(,當然,這兩平面也有可能平行,或為相同平面)。

對於上述兩平面相交於一直線而已,它們的 normal vector A 及 B 都與這條直線正交,因為這兩個平面都包含這條直線,事實上,由原點,A 及 B 三點所構成的平面,也會與這條直線正交。




Normal Vectors and Cross Product

給定兩個 vector A, B,則 A 與 B 的 向量外積(cross product) 分別對 A 與 B 皆為 正交;這個定理在求 normal vector 時,非常有用。

例:假設平面上有三個點,P(1, 1, 1)、Q(1, 2, 0)、R(-1, 2, 1),其平面方程式?

解:因為該平面的 normal vector 與該平面正交,所以該平面的 normal vector 也分別與向量 PQ 及 QR 正交,所該該 normal vector 即為 向量PQ 與 向量QR 的外積。
PQ = Q - P = (0, 1, -1)
PR = R - P = (-2, 1, 0)
(Q - P) x (R - P) = (1, 2, 2),此即為該平面的 normal vector A,也就是 A ‧ X = d。
要計算 d ,只要與 P、Q、R 任意一點 與 A 作內積,即可得到 (以 P 為例):
1*1 + 2*1 + 2*1 = 5
=> A ‧ X = 5
=> 1X + 2Y + 2Z = 5

所以該平面方程式為: 1X + 2Y + 2Z = 5




Dihedral Angles and Normal Vectors

定義兩平面的夾角 (Dihedral Angle):
兩平面的夾角在測量、計算時,需要經過與兩平面所相交之直線為正交關係的另一平面,所以依測量的方向不同,可以得到兩組為互補角的角度。

Dihedral Angle 可以經由兩個分別通過兩平面 normal direction 的向量來計算求得:
A ‧ B = |A| |B| cos (AOB)
詳情參考:
Cosine Theorem for Dot Products





Reference

Dot Product and Normals to Lines and Planes

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