給定一個方陣 A,何謂它的特徵向量? 何謂它的特徵值? 其物理意義又為何?



特徵向量 與 特徵值

如果存在一個非零的向量 x,使得 x 被 A 作用之後 (也就是 A*x),其結果會是 x 的簡單常數倍 (λ),也就是:Ax = λx,則稱 x 為 A 的特徵向量,λ 為 A 的特徵值。

這邊也可以看出為什麼要規定 x 為一個非零向量,因為如果 x 為零向量,則 Ax = λx 將恆成立。

特徵向量 及 特徵值有一個在幾何上的重要解釋:在特徵值為實數的情況下,畫一條通過原點的特徵向量,則在這個直線上的任何向量被 A 作用後,所得到的結果仍然會在這條直線上。



給定一個方陣 A,如何求特徵向量、特徵值?

這個問題的解答,也就是已知 A,找出 x 及 λ ,使得下式成立:
Ax = λx

將 Ax = λx 進行改寫:
=> Ax - λx = 0
=> Ax - λIx = 0 (其中 I 為單位矩陣,為了方便計算之用)
=> (A - λI)x = 0

在上式中,因為 x 必不為 0,但 (A - λI)x = 0,所以可以得知:
(A - λI) 必為奇異矩陣 (Singular Matrix)。
(這是有原因的,假設 K = (A - λI),以定義來說:
如果 K 是奇異矩陣,則 Kx = 0,x 有無窮多解。
如果 K 為非奇異矩陣,則 Kx = 0 ,x 有唯一零解。
又因為 x 有一個非零的向量解,所以 K 為奇異矩陣。)

而奇異矩陣的行列式必為 0,所以:
det(A - λI) = 0
利用這個必須滿足行列式為 0 的特性,即可求得 A 及 λ。

舉例來說,若 A = {(1, 2), (3, 2)},依公式:

再依行列式必為 0 的定義,可以導出:
det(A - λI) = (1-λ)(2-λ) - (2)(3)
             = 2 - 3λ + λ2 - 6
             = λ2 - 3λ - 4
             = (λ+1)(λ-4)
             = 0

可以得到 λ 值有兩個解,為 -1 或 4,接著將 λ 代回公式 - (Ax = λx),來求 A:

以 λ = -1 來計算:

可以得到兩個方程式:
=> x1 + 2x2 = -x1
3x1 + 2x2 = -x2
簡化後,兩個方程式的意義相同:
x1 + x2 = 0

以 x1 = 1,x2 = -1 為例,即可滿足上式,代入原式中來驗証:


但 x 向量 (1, -1),並非唯一解,任何滿足 x1 + x2 = 0 的式子,都可以是 x 向量,例如 (-1, 1) 或 (2, -2)。

以 λ = 4 來計算:

可以得到兩個方程式:
=> x1 + 2x2 = 4x1
3x1 + 2x2 = 4x2
簡化後,兩個方程式的意義還是相同:
3x1 - 2x2 = 0

以 x1 = 2,x2 = 3 為例,即可滿足上式。

同樣的, x 向量 = (2, 3),並非唯一解,任何滿足 3x1 - 2x2 = 0 的式子,都可以是 x 向量,例如 (-2, -3) 或 (4, 6)。

經過如上的分析,可以得知:特徵向量並非唯一,但特徵向量彼此之間的差別在於一常數倍數。

也就是說當特徵值為實數,則相對於該特徵值的所有特徵向量皆在同一條通過原點的直線上,如向量 (1, -1) 所代表的直線為:
l1 = {(x1, x2): x1 + x2 = 0}

向量 (2, 3) 所代表的直線為:
l2 = {(x1, x2): 3x1 - 2x2 = 0}

這兩條直線 l1l2 稱為在此映射 x -> Ax 下的不變量 (invariant)。

如果在直線上,任選一個點 (x1, x2),即為 A 之特徵向量,因為下式肯定會成立:
005
也就是:經由 A 的映射後,所得結果仍然在同一條直線上。

l1 上的向量來驗證,假設 (x1, x2) 為 l1 上的一個點,則點 (λx1, λx2),也是一樣會在 l1上,因為:
λx1 + λx2 = λ(x1 + x2) = λ 0 = 0



Reference

Eigenvectors and Eigenvalues 特徵向量和特徵值

文字內容 或 影像內容 部份參考、引用自網路,如有侵權,請告知,謝謝。
創作者介紹
創作者 silverwind1982 的頭像
silverwind1982

拾人牙慧

silverwind1982 發表在 痞客邦 留言(1) 人氣()


留言列表 (1)

發表留言
  • 悄悄話